Viết lại y = x² + 3 + m(x − 1). Điểm cố định không phụ thuộc m ⇔ hệ số của m bằng 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1; khi đó y = 1 + 3 = 4. Vậy mọi parabol đều qua (1; 4). Nhiễu (−1; 4) do giải x+1=0; (1; 3) do quên số hạng x²; (0; 3) có tung độ 3−m vẫn phụ thuộc m nên không cố định.

Gọi hai số là x và 12 − x. Tích P = x(12 − x) = −x² + 12x đạt lớn nhất tại đỉnh x = 6, khi đó hai số bằng 6 và 6 (tích 36). Nhiễu 4 và 8, 3 và 9 là các cặp có tổng 12 nhưng tích nhỏ hơn (32 và 27); 12 và 0 cho tích bằng 0.

|a − b|² = |a|² + |b|² − 2|a||b|·cos120° = 9 + 25 − 2·3·5·(−1/2) = 34 + 15 = 49, nên |a − b| = 7. Nhiễu √19 do dùng nhầm dấu (tính như góc 60°): 34 − 15 = 19; √34 do bỏ sót số hạng tích vô hướng; 8 do lấy |a| + |b|.

Vì a = 1 > 0 và hoành độ đỉnh x = −b/2a = 3, hàm số bậc hai nghịch biến trên (−∞; 3) và đồng biến trên (3; +∞). Nhiễu (3; +∞) là khoảng đồng biến; (−∞; −3) sai dấu hoành độ đỉnh; (5; +∞) do nhầm với nghiệm x=5 của phương trình.

Phủ định của "∃ x, P(x)" là "∀ x, không P(x)"; phủ định của "=" là "≠". Vậy phủ định là "∀ x ∈ ℝ, x² − 4 ≠ 0". Phương án "∀ x, x² − 4 = 0" giữ nguyên dấu "="; phương án "∃ x, x² − 4 ≠ 0" giữ nguyên lượng từ "∃"; phương án "∀ x, x² − 4 > 0" đổi "=" thành ">" (không phải phủ định của "=").

A(3; 4) thuộc parabol: 4 = 9 + 3m + 1 ⇒ 3m = −6 ⇒ m = −2, nên y = x² − 2x + 1. Tại x = 2: y = 4 − 4 + 1 = 1. Nhiễu 2 là giá trị |m| (nhầm câu hỏi); 5 do bỏ số hạng chứa m (4 + 1); −3 do thay số sai.

Cắt trục tung tại tung độ 3 ⇒ c = 3. Đỉnh có hoành độ 1 ⇒ −b/2a = 1 ⇒ b = −2a. Đỉnh có tung độ 4 ⇒ a + b + c = 4 ⇒ a + (−2a) + 3 = 4 ⇒ −a = 1 ⇒ a = −1. Nhiễu 1 do sai dấu; −2 chính là b; 3 chính là c.

Phương trình x² − 3x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 1 và x = 2. Vậy A = {1; 2}.

Giao với trục hoành: x² − 7x + 10 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 5, cho hai điểm (2; 0) và (5; 0). Khoảng cách giữa chúng = |5 − 2| = 3. Nhiễu 7 là tổng hai nghiệm; 10 là tích hai nghiệm; 5 chỉ là một trong hai nghiệm.

Phủ định của "∀ x, x² ≥ x" là "∃ x, x² < x" (đổi ∀ thành ∃ và phủ định "≥" thành "<"). Nhiễu thứ hai giữ nguyên "≥"; thứ ba giữ nguyên "∀"; thứ tư dùng "≤" — đây là phủ định sai của "≥" (phủ định của ≥ phải là <).

Thay (1; −1) vào "x + y − 3 < 0": 1 + (−1) − 3 = −3 < 0 (thoả mãn). Các bất phương trình còn lại đều không thoả: "2x − y − 5 > 0" cho 2 − (−1) − 5 = −2 (sai); "−x − y < 0" cho −1 − (−1) = 0 (không < 0); "x + 3y + 1 > 0" cho 1 + 3·(−1) + 1 = −1 (sai).

Phương trình hoành độ giao điểm: x² − 2x = x ⇔ x² − 3x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3. Giao điểm có hoành độ lớn hơn là x = 3, tung độ y = x = 3. Nhiễu 0 là tung độ giao điểm còn lại (0; 0); 9 do nhầm lấy x²; 6 do tính sai.

Bước 4 —

Kết luận: đáp số 5.

Bước 1 — Quả bóng đạt độ cao 15m khi h(t) = 15: −1/2t² + 5t + 3 = 15.

Bước 2 — Biến đổi: −1/2t² + 5t − 12 = 0 ⇔ t² − 10t + 24 = 0.

Bước 4 —

Kết luận: đáp số 4 (giây).

Bước 2 — Tính vế trái: −8 + 3 = −5, suy ra −5 ≤ m, tức m ≥ −5.

Bước 4 —

Kết luận: đáp số −5.

Barem 4 bước (0,25đ/bước).

Bước 1 — Viết công thức bình phương độ dài vectơ tổng: |\overrightarrow{F}|² = |\overrightarrow{F₁}|² + |\overrightarrow{F₂}|² + 2·|\overrightarrow{F₁}|·|\overrightarrow{F₂}|·cos60°.

Bước 2 — Thay số với cos60° = 1/2: |\overrightarrow{F}|² = 6² + 10² + 2·6·10·1/2 = 36 + 100 + 60.

Bước 3 — Rút gọn: |\overrightarrow{F}|² = 196.

Bước 4 —

Kết luận: đáp số |\overrightarrow{F}| = √196 = 14.

Bước 3 — Thay số: x = −14/(2·(−1)) = 7.

Bước 4 —

Kết luận: cần sản xuất 7 trăm sản phẩm, đáp số 7.

Bước 1 — Thay x = 5 vào công thức: h(5) = −1/5·5² + 4·5.

Bước 4 —

Kết luận: đáp số 15 (mét).