Parabol có a = 2 > 0 (quay lên), hoành độ đỉnh x = −b/2a = −8/4 = −2. Giá trị hàm càng lớn khi điểm càng xa trục đối xứng x = −2. Khoảng cách tới −2: |−1−(−2)| = 1, |−5−(−2)| = 3, |2−(−2)| = 4, nên f(−1) < f(−5) < f(2) (kiểm chứng: f(−1) = −3, f(−5) = 13, f(2) = 27). Phương án f(−5) < f(−1) < f(2) sai do sắp theo giá trị x (tưởng hàm luôn đồng biến). Phương án f(2) < f(−5) < f(−1) sai do tưởng parabol quay xuống. Phương án còn lại sai do so sánh nhầm khoảng cách của −5 và 2 tới trục đối xứng.

Hoành độ đỉnh x = 2 nằm ngoài (bên trái) đoạn [3; 6] và a = 1 > 0 nên trên [3; 6] hàm đồng biến. Do đó nhỏ nhất tại x = 3: f(3) = 9 − 12 + 7 = 4; lớn nhất tại x = 6: f(6) = 36 − 24 + 7 = 19. Tổng = 4 + 19 = 23. Phương án 22 sai do lấy nhầm giá trị nhỏ nhất bằng giá trị tại đỉnh f(2) = 3 (3 + 19 = 22). Phương án 19 chỉ là giá trị lớn nhất, 4 chỉ là giá trị nhỏ nhất.

a = −1 < 0 nên parabol quay xuống, hoành độ đỉnh x = 3 ∈ [0; 5]. Giá trị lớn nhất M = g(3) = −9 + 18 − 4 = 5. Xét hai đầu mút: g(0) = −4, g(5) = −25 + 30 − 4 = 1, nên giá trị nhỏ nhất m = −4. Vậy M − m = 5 − (−4) = 9. Phương án 5 sai do tưởng m = 0. Phương án 4 sai do lấy m = g(5) = 1 (không so sánh hết hai đầu mút). Phương án 1 chỉ là g(5).

Thay toạ độ mỗi điểm vào vế trái x − 2y + 3: với (1; 1) được 1 − 2 + 3 = 2 ≥ 0 (thoả); với (3; 0) được 3 + 3 = 6 ≥ 0 (thoả); với (0; 1) được 0 − 2 + 3 = 1 ≥ 0 (thoả); riêng (−1; 3) được −1 − 6 + 3 = −4 < 0 nên KHÔNG thoả. Học sinh dễ nhầm dấu khi tính −2·3 tại điểm (−1; 3).

Phương trình (x − 1)(x − 3) = 0 có nghiệm x = 1, x = 3 (đều nguyên) nên {x ∈ ℤ | (x − 1)(x − 3) = 0} = {1; 3} — đúng. Khẳng định đầu sai vì ước tự nhiên của 8 là 1; 2; 4; 8 (thiếu 8). Khẳng định thứ hai sai vì |x| < 2 với x nguyên cho {−1; 0; 1} (thiếu −1). Khẳng định thứ ba sai vì x² + 1 = 0 vô nghiệm thực nên vế trái là tập rỗng, không phải {−1; 1}.

a = −1 < 0 nên parabol quay xuống, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh x = 2: h(2) = −4 + 8 + 1 = 5. Tập giá trị là (−∞; 5], tức mọi số ≤ 5 đều đạt được (kể cả −10, 1 và 5), còn 6 > 5 nên không đạt được. Phương án −10 là bẫy cho học sinh nhầm parabol quay lên (tưởng tập giá trị là [5; +∞) rồi loại −10).

Số phần tử của tích Descartes bằng tích số phần tử: |A × B| = |A| · |B| = 5 · 3 = 15. Phương án 8 sai do cộng 5 + 3. Phương án 30 sai do đếm thêm cả các cặp (phòng; tổ) của B × A. Phương án 25 sai do dùng nhầm |B| = 5.

Mệnh đề kéo theo P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng mà Q sai. Ba mệnh đề đầu có kết luận đúng: 30 chia hết cho 5, 28 là số chẵn, 12 chia hết cho 4, nên đều là mệnh đề đúng. Mệnh đề cuối có 45 = 6·7 + 3 không chia hết cho 6, tức kết luận sai trong khi giả thiết cho số 45, nên đây là mệnh đề SAI.

Mệnh đề đảo của P ⇒ Q là Q ⇒ P: đổi chỗ giả thiết và kết luận, được “Nếu sân trường ướt thì trời mưa.” Phương án “Nếu trời không mưa thì sân trường không ướt” là mệnh đề phản (¬P ⇒ ¬Q). Phương án “Nếu sân trường không ướt thì trời không mưa” là mệnh đề phản đảo (¬Q ⇒ ¬P). Phương án cuối là dạng phủ định của mệnh đề ban đầu.

A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5} nên có 5 phần tử.

Tổng số học sinh = 3 + 5 + 8 + 10 + 4 = 30.

Kiểm tra từng cặp: (6; 8) cho 2·6 + 3·8 = 36 ≤ 48 và 6 + 8 = 14 ≤ 20, lại có x, y ≥ 0 nên thoả cả hệ. (10; 10) cho 2·10 + 3·10 = 50 > 48 (vượt điều kiện ngân sách). (0; 18) cho 3·18 = 54 > 48 (vượt ngân sách). (15; 6) cho 15 + 6 = 21 > 20 (vượt tổng số lượng).

Barem 4 bước (0,25đ/bước).

Bước 1 — Giải điều kiện: x² − 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2.

Bước 2 — Lấy x nguyên: X = {−2; −1; 0; 1; 2}.

Bước 3 — Tính tổng: (−2) + (−1) + 1 + 2.

Bước 4 —

Kết luận: tổng các phần tử bằng 0.

Bước 4 —

Kết luận: chỉ có 2 hàm số (hàm (1) và (2)) là hàm số bậc hai, đáp số 2.

Bước 2 — Tại (0;0): F=3·0−2·0=0. Tại (5;0): F=3·5−2·0=15.

Bước 3 — Tại (4;3): F=3·4−2·3=12−6=6. Tại (0;5): F=3·0−2·5=−10.

Bước 4 —

Kết luận: so sánh 4 giá trị {0; 15; 6; −10}, giá trị lớn nhất là 15 tại đỉnh (5;0), đáp số 15.

Bước 4 —

Kết luận: f(f(2)) = 12, đáp số 12.

Bước 4 —

Kết luận: trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = 3, đáp số 3.

Barem 4 bước (0,25đ/bước).

Bước 1 — Nhóm hai vectơ chung điểm gốc C: 2·\overrightarrow{CA} − 2·\overrightarrow{CB} = 2·(\overrightarrow{CA} − \overrightarrow{CB}).

Bước 2 — Dùng quy tắc hiệu (ba điểm): \overrightarrow{CA} − \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BA} = −\overrightarrow{AB}, nên 2·(\overrightarrow{CA} − \overrightarrow{CB}) = −2·\overrightarrow{AB}.

Bước 3 — Thay lại: \overrightarrow{u} = 5·\overrightarrow{AB} − 2·\overrightarrow{AB} = 3·\overrightarrow{AB}.

Bước 4 —

Kết luận: đáp số k = 3.