DETHITOANTHPT.COM (Đề gồm 22 câu) | ĐỀ THI HỌC KỲ 1
NĂM HỌC 2026 - 2027 Môn: TOÁN - Lớp 12 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề |
| Họ, tên thí sinh: ........................................................... | |
Số báo danh: ...........................................................
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Chi phí nhiên liệu (nghìn đồng/km) của một xe buýt được mô hình bởi
y =
(2x+3)/(x+1) với
x là tốc độ chuẩn hoá,
x ∈ [1; 4]. Giá trị nhỏ nhất của
y trên đoạn [1; 4] bằng:
A. 11/5B. 5/2C. 7/3D. 2
Câu 2: Hàm số
y = −
x³ + 3
x² − 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (−∞; 0)B. (0; 2)C. (2; +∞)D. (−∞; 2)
Câu 3: Cho hàm số
y =
x³ − 3
x + 5 mô tả độ cao tín hiệu đèn giao thông theo thời gian
x ∈ [0; 2]. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2] bằng:
A. 12B. 8C. 10D. 15
Câu 4: Điểm cực đại của hàm số
y = −
x³ + 3
x + 2 là:
A. x = −1B. x = 0C. x = 2D. x = 1
Câu 5: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y =
(x + 1)/(x − 2) là đường thẳng:
A. x = 2B. x = −1C. y = 1D. y = 2
Câu 6: Đồ thị hàm số
y =
(2x − 1)/(x + 3) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1B. 2C. 3D. 0
Câu 7: Cho hai số thực
x,
y thoả mãn
x +
y = −8. Giá trị lớn nhất của biểu thức
P = xy bằng:
A. −16B. 8C. 16D. 4
Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =
x³ − 3
x² + 1 trên đoạn [−1; 2] bằng:
A. 1B. −1C. 0D. −3
Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A(2; −1; 3) và
B(0; 3; 1). Toạ độ của vectơ AB là:
A. (−2; 4; −2)B. (2; −4; 2)C. (2; 2; 4)D. (−2; 2; 4)
Câu 10: Trong không gian Oxyz, độ dài của vectơ
a = (2; −1; 2) bằng:
A. 5B. 3C. 9D. √5
Câu 11: Đồ thị của hàm số
y =
(2x + 1)/(x − 1) có phương trình đường tiệm cận ngang là:
A. y = 1B. x = 1C. y = 2D. y = −1
Câu 12: Cho hàm số
y =
x³ − 3
x + 2. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có toạ độ là:
A. (−1; 4)B. (1; 2)C. (0; 2)D. (1; 0)
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi câu, ở mỗi ý a), b), c), d), thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13: Cho hàm số
y =
(3x-2)/(x²-4x+3), mô tả lưu lượng xe qua trạm thu phí theo tốc độ chuẩn hoá
x.
a) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là x=1 và x=3.
b) Tổng hai giá trị x tại các đường tiệm cận đứng bằng 4.
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=3.
d) Hàm số xác định tại x=2.
Câu 14: Cho hàm số
y =
(3x + 2)/(x + 4) có đồ thị (
C).
a) Tập xác định của hàm số là R ∖ {−4}.
b) Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là x = −4.
c) Đồ thị (C) có tiệm cận ngang là y = 3.
d) Đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ O(0; 0).
Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
A(1; 2; −1) và
B(3; 0; 1).
a) Vectơ AB = (2; −2; 2).
b) Trung điểm của đoạn AB có toạ độ (2; 1; 0).
c) Độ dài đoạn thẳng AB bằng 6.
d) Vectơ AB cùng phương với vectơ u = (1; −1; 1).
Câu 16: Xét đồ thị (
C) của hàm số
y =
(2x + 3)/(x + 2).
a) Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là x = −2.
b) Đồ thị (C) có tiệm cận ngang là y = 2.
c) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
d) Tâm đối xứng của đồ thị (C) là điểm I(−2; 2).
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 17 đến câu 22. Thí sinh điền đáp án (số) vào ô trống.
Câu 17: Một xưởng may có lợi nhuận mỗi ngày (nghìn đồng) khi sản xuất x chiếc áo được cho bởi L(x) = −0,1x² + 12x − 138 với 0 < x ≤ 100. Hỏi mỗi ngày xưởng nên sản xuất bao nhiêu chiếc áo để lợi nhuận lớn nhất? Trả lời: ............
Câu 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai vectơ a = (2; 1; −2) và b = (1; 2; 3). Tính tích vô hướng a · b. Trả lời: ............
Câu 19: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x³ − 6x² + 9x trên đoạn [0; 4]. Trả lời: ............
Câu 20: Cho hàm số y = x³ − 3mx + 1 (m là tham số). Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Trả lời: ............
Câu 21: Cho đồ thị hàm số y = (2x + 1)/(x − 3). Hai đường tiệm cận của đồ thị cắt nhau tại điểm I. Tìm tung độ của điểm I. Trả lời: ............
Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 2). Tính khoảng cách từ điểm A đến gốc toạ độ O. Trả lời: ............
------ HẾT ------
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu;
- Giám thị không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN & LỜI GIẢI — Đề thi học kỳ 1 môn Toán Lớp 12 (2026 – 2027) – Mã 0834
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|
| Đáp án | A | B | C | D | A | B | C | D | A | B | C | D |
|---|
Phần II. Đúng / Sai
| Câu | a) | b) | c) | d) |
|---|
| 13 | Đ | Đ | S | Đ |
| 14 | Đ | Đ | Đ | S |
| 15 | Đ | Đ | S | Đ |
| 16 | Đ | Đ | S | Đ |
Phần III. Trả lời ngắn
| Câu | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
|---|
| Đáp án | 60 | -2 | 4 | 1 | 2 | 3 |
|---|
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án
Câu 1. Chi phí nhiên liệu (nghìn đồng/km) của một xe buýt được mô hình bởi y = (2x+3)/(x+1) với x là tốc độ chuẩn hoá, x ∈ [1; 4]. Giá trị nhỏ nhất của y trên đoạn [1; 4] bằng:
Đáp án: A. 11/5
Lời giải. y = 2 + 1/(x+1) là hàm nghịch biến trên [1;4] (vì 1/(x+1) giảm khi x tăng). GTNN đạt tại x=4: y(4) = 11/5. Đáp án 5/2 là giá trị lớn nhất (tại x=1), bị nhầm là nhỏ nhất; đáp án 7/3 là giá trị tại x=2 (điểm không phải đầu mút); đáp án 2 là giới hạn khi x→∞, không đạt trên đoạn đã cho.
Câu 2. Hàm số y = −x³ + 3x² − 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án: B. (0; 2)
Lời giải. y' = −3x² + 6x = −3x(x − 2) > 0 ⟺ 0 < x < 2.
Câu 3. Cho hàm số y = x³ − 3x + 5 mô tả độ cao tín hiệu đèn giao thông theo thời gian x ∈ [0; 2]. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2] bằng:
Đáp án: C. 10
Lời giải. y' = 3x²−3 = 0 ⇔ x=±1, chỉ x=1 thuộc [0;2]. Tính y(0)=5, y(1)=3, y(2)=7. So sánh: GTLN=7 (tại x=2), GTNN=3 (tại x=1). Tổng = 7+3=10. Đáp án 12 do lấy nhầm y(0)=5 làm GTNN cộng với GTLN; đáp án 8 do tính sai giá trị hàm; đáp án 15 do cộng cả ba giá trị y(0)+y(1)+y(2) thay vì chỉ GTLN+GTNN.
Câu 4. Điểm cực đại của hàm số y = −x³ + 3x + 2 là:
Đáp án: D. x = 1
Lời giải. y' = −3x² + 3 = 0 ⇒ x = ±1; y' đổi dấu + → − tại x = 1 nên đạt cực đại tại x = 1.
Câu 5. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = (x + 1)/(x − 2) là đường thẳng:
Đáp án: A. x = 2
Lời giải. Mẫu số x − 2 = 0 tại x = 2 ⇒ tiệm cận đứng x = 2.
Câu 6. Đồ thị hàm số y = (2x − 1)/(x + 3) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
Đáp án: B. 2
Lời giải. Đồ thị có một tiệm cận đứng x = −3 và một tiệm cận ngang y = 2, tổng cộng 2 đường tiệm cận.
Câu 7. Cho hai số thực x, y thoả mãn x + y = −8. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy bằng:
Đáp án: C. 16
Lời giải. Đặt y=−8−x, P(x)=x(−8−x)=−x²−8x. P'(x)=−2x−8=0 ⇒ x=−4, khi đó y=−4, P=(−4)(−4)=16. Vì P''=−2<0 nên đây là giá trị lớn nhất. Đáp án −16 do sai dấu; đáp án 8, 4 do tính nhầm điểm x=y=−4 hoặc chia sai hệ số.
Câu 8. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x³ − 3x² + 1 trên đoạn [−1; 2] bằng:
Đáp án: D. −3
Lời giải. y' = 3x² − 6x = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 2; y(−1) = −3; y(0) = 1; y(2) = −3 ⇒ giá trị nhỏ nhất là −3.
Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 3) và B(0; 3; 1). Toạ độ của vectơ AB là:
Đáp án: A. (−2; 4; −2)
Lời giải. AB = B − A = (0 − 2; 3 − (−1); 1 − 3) = (−2; 4; −2).
Câu 10. Trong không gian Oxyz, độ dài của vectơ a = (2; −1; 2) bằng:
Đáp án: B. 3
Lời giải. |a| = √(2² + (−1)² + 2²) = √9 = 3.
Câu 11. Đồ thị của hàm số y = (2x + 1)/(x − 1) có phương trình đường tiệm cận ngang là:
Đáp án: C. y = 2
Lời giải. Bậc tử bằng bậc mẫu, tỉ số hệ số bậc cao nhất = 2 ⇒ tiệm cận ngang y = 2.
Câu 12. Cho hàm số y = x³ − 3x + 2. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có toạ độ là:
Đáp án: D. (1; 0)
Lời giải. y' = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1; y''(1) = 6 > 0 nên đạt cực tiểu tại x = 1, y(1) = 0 ⇒ điểm cực tiểu (1; 0).
Phần II. Đúng / Sai
Câu 13. Cho hàm số y = (3x-2)/(x²-4x+3), mô tả lưu lượng xe qua trạm thu phí theo tốc độ chuẩn hoá x.
Đáp án: a) Đ; b) Đ; c) S; d) Đ
Lời giải.a) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là x=1 và x=3. → Đúng. Mẫu số x²−4x+3=(x−1)(x−3)=0 cho x=1,3; tử số khác 0 tại cả hai điểm nên cả hai đều là tiệm cận đứng.
b) Tổng hai giá trị x tại các đường tiệm cận đứng bằng 4. → Đúng. 1+3=4.
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=3. → Sai. Vì bậc tử (1) nhỏ hơn bậc mẫu (2) nên tiệm cận ngang là y=0, không phải y=3.
d) Hàm số xác định tại x=2. → Đúng. Tại x=2: mẫu số = 4−8+3=−1≠0 nên hàm số xác định.
Câu 14. Cho hàm số y = (3x + 2)/(x + 4) có đồ thị (C).
Đáp án: a) Đ; b) Đ; c) Đ; d) S
Lời giải.a) Tập xác định của hàm số là R ∖ {−4}. → Đúng. Điều kiện x + 4 ≠ 0.
b) Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là x = −4. → Đúng. Mẫu số bằng 0 tại x = −4.
c) Đồ thị (C) có tiệm cận ngang là y = 3. → Đúng. Tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu bằng 3.
d) Đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ O(0; 0). → Sai. y(0) = 2/4 = 1/2 ≠ 0.
Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; −1) và B(3; 0; 1).
Đáp án: a) Đ; b) Đ; c) S; d) Đ
Lời giải.a) Vectơ AB = (2; −2; 2). → Đúng. AB = (3 − 1; 0 − 2; 1 − (−1)) = (2; −2; 2).
b) Trung điểm của đoạn AB có toạ độ (2; 1; 0). → Đúng. I = ((1+3)/2; 2/2; (−1+1)/2) = (2; 1; 0).
c) Độ dài đoạn thẳng AB bằng 6. → Sai. AB = √(2² + (−2)² + 2²) = √12 = 2√3 ≈ 3,46 ≠ 6.
d) Vectơ AB cùng phương với vectơ u = (1; −1; 1). → Đúng. AB = 2·(1; −1; 1) nên cùng phương.
Câu 16. Xét đồ thị (C) của hàm số y = (2x + 3)/(x + 2).
Đáp án: a) Đ; b) Đ; c) S; d) Đ
Lời giải.a) Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là x = −2. → Đúng. Mẫu số bằng 0 tại x = −2.
b) Đồ thị (C) có tiệm cận ngang là y = 2. → Đúng. Tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu bằng 2.
c) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. → Sai. y' = 1/((x + 2)²) > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
d) Tâm đối xứng của đồ thị (C) là điểm I(−2; 2). → Đúng. Tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận x = −2 và y = 2.
Phần III. Trả lời ngắn
Câu 17. Một xưởng may có lợi nhuận mỗi ngày (nghìn đồng) khi sản xuất x chiếc áo được cho bởi L(x) = −0,1x² + 12x − 138 với 0 < x ≤ 100. Hỏi mỗi ngày xưởng nên sản xuất bao nhiêu chiếc áo để lợi nhuận lớn nhất?
Đáp án: 60
Lời giải. Barem 4 bước. Bước 1 (0,25đ): Xét hàm lợi nhuận L(x) = −0,1x² + 12x − 138 trên (0; 100]; đạo hàm L'(x) = −0,2x + 12. Bước 2 (0,25đ): L'(x) = 0 ⇔ −0,2x + 12 = 0 ⇔ x = 60 (thoả điều kiện). Bước 3 (0,25đ): Vì hệ số a = −0,1 < 0 nên L(x) đạt giá trị lớn nhất tại hoành độ đỉnh x = 60. Bước 4 (0,25đ): Mỗi ngày xưởng nên sản xuất 60 chiếc áo.
Câu 18. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai vectơ a = (2; 1; −2) và b = (1; 2; 3). Tính tích vô hướng a · b.
Đáp án: -2
Lời giải. Barem 4 bước. Bước 1 (0,25đ): Công thức tích vô hướng a · b = xx_2 + yy_2 + zz_2. Bước 2 (0,25đ): a · b = 2·1 + 1·2 + (−2)·3. Bước 3 (0,25đ): = 2 + 2 − 6. Bước 4 (0,25đ): a · b = −2.
Câu 19. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x³ − 6x² + 9x trên đoạn [0; 4].
Đáp án: 4
Lời giải. Barem 4 bước. Bước 1 (0,25đ): f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3); nghiệm thuộc [0; 4] là x = 1 và x = 3. Bước 2 (0,25đ): Tính giá trị tại các đầu mút và điểm tới hạn. Bước 3 (0,25đ): f(0) = 0; f(1) = 4; f(3) = 0; f(4) = 4. Bước 4 (0,25đ): Giá trị lớn nhất bằng 4.
Câu 20. Cho hàm số y = x³ − 3mx + 1 (m là tham số). Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Đáp án: 1
Lời giải. Barem 4 bước. Bước 1 (0,25đ): y' = 3x² − 3m. Bước 2 (0,25đ): Hàm đạt cực trị tại x = 1 ⇒ y'(1) = 3 − 3m = 0 ⇒ m = 1. Bước 3 (0,25đ): Khi m = 1, y'' = 6x ⇒ y''(1) = 6 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu. Bước 4 (0,25đ): m = 1.
Câu 21. Cho đồ thị hàm số y = (2x + 1)/(x − 3). Hai đường tiệm cận của đồ thị cắt nhau tại điểm I. Tìm tung độ của điểm I.
Đáp án: 2
Lời giải. Barem 4 bước. Bước 1 (0,25đ): Tiệm cận đứng là x = 3 (mẫu số bằng 0). Bước 2 (0,25đ): Tiệm cận ngang là y = 2 (tỉ số hệ số bậc cao nhất). Bước 3 (0,25đ): Giao điểm hai tiệm cận là I(3; 2). Bước 4 (0,25đ): Tung độ của I bằng 2.
Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 2). Tính khoảng cách từ điểm A đến gốc toạ độ O.
Đáp án: 3
Lời giải. Barem 4 bước. Bước 1 (0,25đ): Khoảng cách OA = √(xA² + yA² + zA²). Bước 2 (0,25đ): OA = √(1² + 2² + 2²). Bước 3 (0,25đ): = √(1 + 4 + 4) = √9. Bước 4 (0,25đ): OA = 3.